基数

基数

集合的基数是对集合大小的一种度量，即集合中元素的数量。例如，集合$A=\{1,2,4\}$的基数为$3$，因为它包含三个元素。集合的基数用竖线表示，类似于绝对值符号；例如，集合$A$的基数表示为$|A|$。当$A$是有限集时，$|A|$就是$A$中元素的数量。当$A$是无限集时，$|A|$用一个基数表示。

目录

• 定义
• 可数性与不可数性
• 基数

定义

如果两个有限集合的元素数量相等，则认为它们大小相同。为了在不涉及自然数的情况下表述这个大小概念，我们可以说两个有限集$A$和$B$具有相同的基数，当且仅当存在一个从$A$到$B$的双射。对于有限集，这两个定义是等价的。只有当$A$的元素可以与$B$的元素一一对应时，$A$和$B$之间才存在双射，这必然要求$A$和$B$具有相同数量的元素。

没有什么能阻止我们对无限集做出类似的定义：

两个集合$A$和$B$被称为具有相同的基数，如果存在一个从$A$到$B$的双射。

这个看似简单的定义产生了一些起初违反直觉的结果。例如，注意到从所有整数的集合到偶数的集合存在一个简单的双射，即通过将每个整数乘以$2$。更正式地说，这是一个双射$f:\{\text{整数}\}\to \{\text{偶数}\}$，其中$f(n)=2n$。这意味着，就基数而言，所有整数的集合的大小与偶数集合的大小完全相同。

可数性与不可数性

设$\mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots \}$表示自然数集。

一个无限集$A$被称为可数无限集（或可数集），如果它与$\mathbb{N}$具有相同的基数。换句话说，存在一个从$A$到$\mathbb{N}$的双射。 一个无限集$A$被称为不可数无限集（或不可数集），如果它不是可数的。换句话说，不存在从$A$到$\mathbb{N}$的双射。

这些定义表明，即使在无限集的类别中，也存在不同的“无穷大的大小”。就基数而言，可数无限集比不可数无限集“小”。当然，有限集比任何无限集都“小”，但是可数与不可数的区别也提供了一种比较无限集大小的方法。以下是一些可数集和不可数集的例子。

设$\mathbb{Z}=\{\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$表示整数集。$\mathbb{Z}$是可数的还是不可数的？

考虑以下从$\mathbb{N}$到$\mathbb{Z}$的映射： [{1,2,3,4,5,6,7,8,9,\cdots}\mapsto{0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,\cdots}] 每个整数都被某个自然数映射到，并且没有整数被映射两次。因此，这是一个双射。我们得出结论$\mathbb{Z}$是可数的。$\square$

设$\mathbb{Q}$表示有理数集。$\mathbb{Q}$是可数的还是不可数的？

从$\mathbb{N}$到$\mathbb{Q}$的映射可以简单地通过有理数列表来描述。如果这个列表至少包含每个有理数一次，我们可以去除重复项以获得从$\mathbb{N}$到$\mathbb{Q}$的双射。

对于一个有理数$\frac{a}{b}$（最简形式），称$|a|+|b|$为它的高度。每个高度的有理数数量是有限的。因此，如果我们列出所有高度为$1$的有理数，然后是高度为$2$的有理数，然后是高度为$3$的有理数，等等，我们将得到所需的有理数列表。

因此，我们得出结论$\mathbb{Q}$是可数的。$\square$

$S$是有限的 $S$是可数无限的 $S$是不可数无限的

一个实数$\alpha \in \mathbb{R}$被称为代数数，如果存在一个具有有理系数的多项式$p(x)$，使得$p(\alpha )=0$。

设$S\subset \mathbb{R}$表示代数数的集合。关于$S$，以下哪项是正确的？

考虑区间$[0,1]$。作为一个集合，$[0,1]$是可数的还是不可数的？

通过康托尔著名的对角线论证，结果表明$[0,1]$是不可数的。他的论证是一个巧妙的反证法。

假设$[0,1]$是可数的，这样我们可以写成$[0,1]=\{a_1,a_2,a_3,\cdots \}$，其中每个$a_i\in [0,1]$。对于每个$a_i$，写出它的（其中一个）二进制表示： [a_i = {0.d_{i1}d_{i2}d_{i3}\cdots}_{2}]，其中每个$d_i\in \{0,1\}$。

对于每个$i$，令$e_i=1-d_{ii}$，这样如果$d_{ii}=1$，则$e_i=0$，如果$d_{ii}=0$，则$e_i=1$。现在，通过写出它的二进制表示来构造一个数$x\in [0,1]$： [x = {0.e_1e_2e_3\cdots}_{2}] 由于$x$在第$i$个二进制位上与$a_i$不同，我们知道对于所有$i\in \mathbb{N}$，$x\ne a_i$。

但这意味着$x$不在列表$\{a_1,a_2,a_3,\cdots \}$中，尽管$x\in [0,1]$。因此，该列表不包含集合$[0,1]$的每个元素，这与我们的可数性假设相矛盾！$\square$

$S$是有限的 $S$是可数无限的 $S$是不可数无限的

设$S$表示从$[0,1]$到$\mathbb{R}$的连续函数的集合。关于$S$，以下哪项是正确的？

基数

基数在集合上定义了一个等价关系，它声明当存在一个从$A$到$B$的双射时，两个集合$A$和$B$是等价的。这样得到的等价类称为基数。对于一个集合$S$，用$|S|$表示它的基数。

基数上有一个顺序关系，当存在一个从$A$到$B$的单射时，声明$|A|\le |B|$。这实际上就是康托尔 - 伯恩斯坦 - 施罗德定理，表述如下：

如果$|A|\le |B|$且$|B|\le |A|$，那么$|A|=|B|$。

对于有限集，基数可以与正整数等同。最小的无限基数是${\aleph }_0$，它代表$\mathbb{N}$的等价类。这意味着对于任何无限集$S$，有${\aleph }_0\le |S|$；也就是说，对于任何无限集，存在一个从$\mathbb{N}$到$S$的单射。

基数运算定义如下： 对于两个集合$A$和$B$，有[\begin{align}\vert A\vert+\vert B\vert&:=\vert A\cup B\vert\\vert A\vert\cdot\vert B\vert&=\vert A\times B\vert\end{align}]，其中$\cup$表示并集，$\times$表示笛卡尔积。

假设选择公理，无限基数运算的公式更简单，因为选择公理意味着$|A\cup B|=|A\times B|=\max (|A|,|B|)$。基数是度量集合大小的方式，通过建立一一对应关系来比较不同集合的”大小”，即使是无穷集合也可以比较。

集合基数学习卡片

基数的定义

基数是衡量集合大小的度量，用符号$|A|$表示集合$A$的基数。

基本概念

关键理解

1. 有限集的基数

   • 就是元素的个数
   • $|A|=n$，其中$n$为自然数

2. 无穷集的基数

   • 通过一一对应关系定义
   • 两个集合有相同基数$⟺$存在双射

可数性

重要例子

1. 可数集：与自然数集$\mathbb{N}$基数相同的集合

   • 整数集$\mathbb{Z}$是可数的
   • 有理数集$\mathbb{Q}$是可数的

2. 不可数集：比自然数集大的集合

   • 实数集$\mathbb{R}$是不可数的
   • 区间$[0,1]$是不可数的

基数运算

基数算术

对于无穷基数：

• ${\aleph }_0+{\aleph }_0={\aleph }_0$
• ${\aleph }_0\times {\aleph }_0={\aleph }_0$
• $2^{{\aleph }_0}=|\mathbb{R}|=\mathfrak{c}$

康托尔定理

核心定理

对任意集合$A$： $|A|<|P(A)|$ 其中$P(A)$是$A$的幂集

常见错误

注意事项

1. 无穷不等于不可数
2. 可数集的子集不一定可数
3. 不可数集的子集可能是可数的

练习方向

思考题

1. 证明整数集可数
2. 证明有理数集可数
3. 理解康托尔对角线法

集合论基数无穷

基数(Cardinality)

定义：集合中元素个数的度量 表示：|A| 分类：

• 有限集：具体自然数
• 可数无限集：与自然数集等势(ℵ₀)
• 不可数无限集：比可数集更大的基数

关键性质：

• 两个集合等势 ⟺ 存在双射关系
• 有限集：元素可以一一列举
• 可数集：可与自然数建立一一对应
• 不可数集：无法与自然数建立一一对应

典型例子：

• 有限集：A = {1,2,4}, |A| = 3
• 可数无限集：整数集(Z)、有理数集(Q)
• 不可数无限集：实数区间[0,1]、连续函数集

集合关系 集合基础