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直接关联

函数

>[!info] 函数的定义 >函数是从集合X到集合Y的映射，其中X中的每个元素都恰好对应Y中的一个元素。 > >记号：f: X → Y >- X是定义域(domain) >- Y是陪域(codomain) >- 值域(range)是Y中实

函数术语表

>[!info] 函数的基本术语 >函数(Function)：从定义域到陪域的映射关系，每个输入恰好对应一个输出 >记号：f: X → Y > >三个基本概念： >1. 定义域(Domain

函数连续性
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连续函数是在定义域内没有间断点、跳跃点或空洞的函数，其函数值随自变量的变化而平滑变化。

函数平滑性
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平滑函数是比函数连续性具有更强性质的函数类型，主要涉及导数的存在性和连续性。

线性方程
research
线性方程是一个代数方程，其图像是一条直线。

等差数列与线性函数
research
从函数角度看等差数列，线性函数是将一个等差数列转换成另一个等差数列。

线性函数和线性方程
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要点 (Cues) - 垂直线 - 水平线 - 函数转化 - 一一对应 - 斜率存在性 - 特殊情况

对数
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对数是指数函数的逆运算，通过将乘除运算转化为加减运算简化计算，在自然科学和工程领域有广泛应用。

对数函数
research
>[!info] 对数的定义 >对数函数是指数函数的逆运算。 > >记号： $\log_x y = z \iff x^z = y$ > >其中： >- x是底数(base) >- y是真数(argument) >- z是指数(exponent

指数函数
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指数函数是一个变量作为指数、底数为正实数的函数，可用于描述指数增长或衰减的现象。 > [!note]- 指数函数基本形式 > $f(x)=a \cdot b^x$ > 其中： > - a为任意实数（系数） > - b为正实数（底数） > -

指数运算法则
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指数运算是处理重复乘法的简便方法，通过一系列基本法则可以简化复杂的指数计算过程。

指数函数的图像
research
>[!info] 指数函数图像的基本特征 >指数函数y=aˣ的图像是一条严格单调的曲线，具有水平渐近线。 > >基本特征： >1. 必过点(0,1) >2. 图像永远在x轴上方 >3. x轴是其水平渐近线 >4. 定义域：全体实数 >5.

角的度量
core
角的度量有两种主要方法：角度和弧度。角度以度（°）为单位，一个完整的圆是360°；而弧度以圆的半径长度为基准，用弧长与半径的比值来表示角的大小。这两种度量方式可以相互转换，其中π（pi）是关键：180°恰好等于π弧度。

角度
core
角以度为单位进行测量，我们首先将一次完整的旋转视为 $360^\circ$ 。然后，通过将一周均匀地分成360个部分，每个部分都是 $1^\circ$ ，对于任何整数 $1 \leq d \leq 360$ ，d的组合的度量给出 $d^\circ$ 。

弧度
core
%% lr:article { "actions": ["显示答案", "提示"] } %% %% left %%

单位圆
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单位圆是半径为1的圆，圆心在坐标原点。基于弧度的概念，在单位圆中，圆心角的弧度恰好等于其对应弧长。通过它可以将三角函数的定义从直角三角形扩

弧长公式
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> [!important] 弧长公式 > > $弧长=r \theta$

弧长和弦长
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弧度之后，从函数思想来看弧长和弦长与角度的关系。

勾股定理
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勾股定理是平面几何中的一个基本定理,描述了直角三角形三边之间的关系。

正弦定理
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正弦定理与三角形外接圆之间有一个非常优雅的关系。 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}=2R=d$ 。

余弦定理
core
一般三角形可以通过在其内部作高线分解为两个直角三角形，这种方法引导出了一系列重要定理，包括正弦定理、余弦定理、面积公式、中线定理以及海伦公式等，形成了一个从基本到复杂的三角学知识体系。

正弦和余弦函数图像
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正弦和余弦函数可以通过单位圆的旋转来理解其图像特征，通过研究其周期性、对称性和变换关系来掌握其性质。 .gif) > [!note] 基本定义与单位圆关系 > - 单位圆上点 $(x,y)$ 与角度 $\theta$ 的关系: >

三角方程
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方程类型通解形式
> $\sin \theta = \sin \alpha$ $\theta=n\pi+(-1)^n\alpha$
> $\cos \theta = \cos \alpha$ $\theta=2n\pi\pm\alpha$
> $\tan \theta = \tan \alpha$ $\theta=n\pi+\alpha$
>
>其中$n$为整数
三角方程是包含三角函数的方程，通过特定的解法技巧和基本原理可以求得其解。

三角函数的周期性
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函数的周期是它在保持相同函数值的情况下自变量可以移动的最小量。更正式地说，它是最小的𝑝，对于所有𝑛，使得𝑓(𝑛+𝑝)=𝑓(𝑛)。直观地说，周期是函数“重复”自身的度量。

三角函数图像
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三角恒等式
core
三角恒等式起源于单位圆的推导。

三角函数同余式
research
三角函数同余式是基于互补角的基本三角函数（正弦和余弦）之间的关系。它们表明正弦和余弦的图形完全相同，只是平移了一个常数 $\frac{\pi}{2}$ 。

三角函数二倍角公式
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三角函数二倍角公式是将二倍角的三角函数表示为原角三角函数的重要公式，它在三角函数的化简和计算中发挥关键作用。

反三角函数
research
反三角函数是三角函数的逆运算，它接受三角比值作为输入并返回对应的角度，通过限定定义域和值域来保证其为单值函数。

反三角函数的图像
research
反三角函数的图像是通过将原三角函数在特定区间内的图像关于 y=x 线对称翻转得到，这种翻转使得原函数的定义域变为反函数的值域，原函数的值域变为反函数的定义域。

向量
research
向量是同时具有大小和方向的量，向量的本质是位移，与起点无关。

单位向量
research
单位向量是模长为1的向量，它保留了向量的方向信息而统一了大小，是向量分解和方向表示的重要工具。

向量加法
research

向量减法
research
向量减法就是加上被减向量的相反向量，即 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$ 。

向量分解
research
向量分解是将一个向量表示为多个向量之和的过程，这是理解和处理向量运算的基础工具。

向量加法与不等式
research
p + q ≤ p + q
向量加法与三角形基本不等式（三角不等式）之间的关系确实很深刻。让我们通过以下步骤来理解这个联系：

点积
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叉积
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叉积是三维向量独有的运算，它产生一个与两个向量都垂直的新向量，其大小等于由这两个向量构成的平行四边形面积。

AM-GM算术与几何平均值
research
>[!abstract] 算术平均值 >两个数a和b的算数平均值定义为 $\frac{a+b}{2}$ ，在直线上，对应的点是以a和b为端点的线段的中点。

几何平均数
research
几何平均数是一种幂平均数，对于正实数集合{a₁, a₂, ..., aₙ}， $GM(a_1,...,a_n) = \sqrt[n]{a_1 a_2...a_n}$

几何平均数的几何意义
research
两个正数的几何平均值 $\sqrt{ab}$ 有几个重要的几何意义：

二次平均值
research
>[!abstract] 二次平均值的定义 >两个非负数的二次平均值的平方是两数平方的算术平均值，即 > $QM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

AM-GM不等式
research
几何平均数不大于算数平均数: $\sqrt{ab}<=\frac{a+b}{2}$

AM-GM不等式几何意义
research
$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 等价于 $4ab \le (a+b)^2$

柯西-施瓦茨不等式
research
柯西-施瓦茨不等式将平方和的乘积与乘积之和的平方联系起来。与 AM-GM 不等式一样，常用于求解多变量函数或表达式的最小值或最大值。$\left(\displaystyle \sum_{i

三角不等式
research
tan\theta\right \ge \left sin\theta\right $
三角不等式是../trigonometric/三角学中的重要内容，它们描述了三角函数之间的关系以及三角形的性质。

三角不等式的一次探索
research
已知 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ ,那么 $sin\alpha+cos\alpha$ 的取值范围可能是多大？

贝叶斯思维
research
我们最初有关于某个事物的主观信念，然后用客观的新信息，得到一个新的、改进的信念，就是贝叶斯方法。根据新信息不断调整对一个事件发生概率的判断，本质上是对信心的度量，是对某个事情结果相信程度的一种定量化表达。

贝叶斯思维和思考的本质
research
贝叶斯思维提供了一个避免极端、促进理性思考的框架，它要求我们： - 既不完全否定先验知识 - 也不盲目接受新信息 - 而是通过严谨的概率推理 - 在证据和经验的基础上不断更新认知这正是对抗"不思考"的最有效方法。

贝叶斯判断的收敛特性
research
用多个维度对人、事情、复杂性问题按时间以贝叶斯思维进行判断，构成多个上下波动的曲线，每个曲线代表一个维度，最后收敛到某个值，达成共识，成为贝叶斯判断的收敛性，而单向度抹杀了可能性，科学思维就是贝叶斯思想。

单向度
research
单一维度有个很好的比喻。意思是：当你手里拿着一把锤子的时候，你看什么都是钉子——当你的工具箱里只有一把锤子的时候，你解决问题的方式就只能是单一的。久而久之，你就变成了一把锤子。

通过骰子游戏理解贝叶斯概率公式
research
贝叶斯思维教会我们如何根据新的信息来更新自己的认知和判断，这是成长和学习的核心，用一个游戏的例子学习贝叶斯概率：

间接关联

函数
research
- 函数 - 函数术语表 - 函数连续性 - 函数平滑性 - 线性方程 - 等差数列与线性函数 - 线性函数和线性方程 - 对数 - 对数函数 - 指数与对数 - 指数函数 - 指数运算法则 - 指数函数的图像

三角函数
research
- 角的度量 - 角度 - 弧度 - 单位圆 - 弧长公式 - 弧长和弦长

三角函数索引
research
- 角的度量 - 多角度看角度 - 角度 - 弧度 - 弧度的几何直觉 - 单位圆

三角学和三角函数
research
> [!info|bg-c-purple] 三角学的起源三角学Trigonometry源自希腊语，表示三角形+测量。三角学是研究三角形中关于角度、边长、面积等测量相关的数学分支。

三角学
core
三角学Trigonometry源自希腊语，表示三角形+测量。三角学是研究三角形中关于角度、边长、面积等测量相关的数学分支。

正弦定理和余弦定理
core
>[!summary] >正弦定理和余弦定理是三角学中的基本定理，它们建立了三角形的边长与角度之间的关系，其中余弦定理是勾股定理的推广，这两个定理为解决各种几何问题提供了强大的工具，包括求解三角形的边长和角度、计算面积、以及在实际应用中如

向量
research
- 向量 - 单位向量 - 向量加法 - 向量减法 - 向量分解 - 向量加法与不等式 - 点积 - 叉积

不等式
research
- AM-GM算术与几何平均值 - 几何平均数 - 几何平均数的几何意义 - 二次平均值 - AM-GM不等式 - AM-GM不等式几何意义 - 柯西-施瓦茨不等式 - 三角不等式 - 三角不等式的一次探索 - 向量加法与不等式