三角函数二倍角公式是将二倍角的三角函数表示为原角三角函数的重要公式，它在三角函数的化简和计算中发挥关键作用。

基本二倍角公式

1. 正弦二倍角：

• $\sin 2x=2\sin x\cos x$

2. 余弦二倍角：

• $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

• $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$

• $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$

• $\cos 2x=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}$

3. 正切二倍角：

• $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$

推导公式

$$\begin{array}{rl}sin2x& =sin(x+x).\\ & =sinxcosx+cosxsinx\\ & =2sinxcosx\end{array}$$ cos 2x &= cos(x+x). \\ &= cos x cos x - sin x sin x \\ &= cos²x - sin²x \end{align}$$

反向推导公式

1. ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$
2. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)$
3. $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$
4. ${\tan }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$

双曲函数二倍角

1. $\sinh 2x=2\sinh x\cosh x$
2. $\cosh 2x={\cosh }^{2}x+{\sinh }^{2}x$

• $=2{\cosh }^{2}x-1$
• $=2{\sinh }^{2}x+1$

3. $\tanh 2x=\frac{2\tanh x}{1+{\tanh }^{2}x}$

应用场景

1. 三角恒等式证明
2. 三角方程求解
3. 积化和差
4. 和差化积
5. 三角函数值的计算