德摩根定律 (De Morgan's Laws)

定义

德摩根定律是一组在集合论和布尔代数中使用的重要规则,由数学家奥古斯特·德·摩根(Augustus De Morgan)提出。这些定律描述了逻辑运算”与”(AND)和”或”(OR)与”非”(NOT)运算之间的关系。

公式表示

对于任意两个命题 P 和 Q:

1. $\neg (P\wedge Q)\equiv (\neg P)\vee (\neg Q)$
2. $\neg (P\vee Q)\equiv (\neg P)\wedge (\neg Q)$ 其中:

• $\neg$ 表示”非”(NOT)
• $\wedge$ 表示”与”(AND)
• $\vee$ 表示”或”(OR)
• $\equiv$ 表示”等价于”

口语表述

1. “非(P 且 Q)“等价于”(非 P)或(非 Q)”
2. “非(P 或 Q)“等价于”(非 P)且(非 Q)“

应用示例

1. 集合论:

• A 和 B 的补集 = A 的补集 并 B 的补集
• A 或 B 的补集 = A 的补集 交 B 的补集

2. 电路设计: 用于简化逻辑电路,减少所需的门电路数量。
3. 程序设计: 优化条件语句,提高代码效率和可读性。

验证方法

可以通过真值表或代数方法验证德摩根定律的正确性。

重要性

德摩根定律在逻辑学、数学、计算机科学和电子工程等领域有广泛应用,是简化逻辑表达式和设计高效算法的重要工具。

相关概念

• 双条件连接词
• 维恩图
• 布尔代数
• 集合论
• 逻辑门

练习题

1. 使用德摩根定律简化表达式: $\neg (A\wedge (B\vee C))$
2. 在集合论中,证明: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’