Summary

正弦定理余弦定理是三角学中的基本定理,它们建立了三角形的边长与角度之间的关系,其中余弦定理是勾股定理的推广,这两个定理为解决各种几何问题提供了强大的工具,包括求解三角形的边长和角度、计算面积、以及在实际应用中如测量和导航等领域的应用。

为什么说逢三角形而不决-->勾股定理?
因为任意三角形都可分解成两个直角三角形啊!
  1. 给定三边长,求角度:

    • 已知三角形 ABC 的三边长 a=3, b=4, c=5,求角 A 的大小。

讨论:

  • 勾股定理只能直接应用于直角三角形。

  • 这里我们需要利用余弦定理:cosA=b2+c2a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

  1. 给定三边长,求面积:

    • 问题:已知三角形 ABC 中,a=5, b=7, 角 A=40°,求边 c。

讨论:

  • 这需要使用余弦定理的变形。
  1. 给定两条边及夹角,求面积:

    • 已知三角形 ABC 中,a=6, b=8, 角 C=60°,求三角形的面积。

讨论:

  • 勾股定理不适用,因为这不是直角三角形。

  • 我们可以使用正弦公式求面积:S=12absinCS = \frac{1}{2}ab\sin C

  1. 求三角形的外接圆半径:

    • 问题:已知三角形 ABC 的三边长 a=3, b=4, c=5,求其外接圆半径。

给定两边和一个非夹角,求第三边:

  • 问题:已知三角形 ABC 中,a=5, b=7, 角 A=40°,求边 c。

讨论:

  • 这需要使用余弦定理的变形。
  • 正弦定理:

  • 余弦定理: (类似地, 的表达式)

graph TD
A[直角三角形] --> B[勾股定理: a² + b² = c²]
A --> C[一般三角形]
B -->|推广| C
C --> D[面积公式: S = ½ab·sinC]
C --> E[正弦定理: a/sinA = b/sinB = c/sinC]
E -->|等于| F[外接圆直径: 2R]
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style C fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
style E fill:#bfb,stroke:#333,stroke-width:2px