方向余弦

方向余弦是描述向量在三维空间中朝向的重要工具，它通过向量与坐标轴的夹角余弦来表征向量的空间方向。

方向余弦的定义 $\vec{v}=a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}$，其方向余弦为：

1. $l=\cos \alpha =\frac{a}{|\vec{v}|}$ (与x轴夹角)
2. $m=\cos \beta =\frac{b}{|\vec{v}|}$ (与y轴夹角)
3. $n=\cos \gamma =\frac{c}{|\vec{v}|}$ (与z轴夹角)

其中$|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

方向余弦定理

$l^2+m^2+n^2=1$

这反映了向量在三个坐标轴方向上投影的几何关系。

计算方法

1. 通过点积：

• $l=\frac{\vec{v}\cdot \hat{i}}{|\vec{v}|}$

• $m=\frac{\vec{v}\cdot \hat{j}}{|\vec{v}|}$

• $n=\frac{\vec{v}\cdot \hat{k}}{|\vec{v}|}$

2. 通过分量：

• $l=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
• $m=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
• $n=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

向量夹角计算 $\overrightarrow{v_1}$和$\overrightarrow{v_2}$之间的夹角$\theta$：

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_1}||\overrightarrow{v_2}|}$

这是点积定义的直接应用。

应用场景

1. 确定向量空间方向
2. 计算向量夹角
3. 方向变换分析
4. 坐标系转换
5. 三维空间定向