向量的线性组合

向量的线性组合是用标量乘以向量再求和的运算，是研究向量空间结构的基础工具。

基本定义

线性组合

对于向量组$\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}$，其线性组合为： $c_1\overrightarrow{v_1}+c_2\overrightarrow{v_2}+\cdots +c_n\overrightarrow{v_n}$ 其中$c_i$为实数系数

线性相关性

判定方法

向量组线性相关 $⟺$ 存在不全为零的系数使得： $c_1\overrightarrow{v_1}+c_2\overrightarrow{v_2}+\cdots +c_n\overrightarrow{v_n}=\vec{0}$

张成空间

Span概念

向量组的所有线性组合构成的集合： $span\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}\}=\{c_1\overrightarrow{v_1}+c_2\overrightarrow{v_2}+\cdots +c_n\overrightarrow{v_n}|c_i\in \mathbb{R}\}$

重要性质

1. 线性组合的性质： $a(b\vec{v})=(ab)\vec{v}$ $a(\vec{v}+\vec{w})=a\vec{v}+a\vec{w}$

2. 线性相关的性质：

   • n个向量线性相关 $⟹$ n+1个向量线性相关
   • 包含零向量的向量组必线性相关

几何解释

直观理解

1. 二维情况：

• 一个向量：直线

• 两个线性无关向量：平面

2. 三维情况：

• 两个向量：平面
• 三个线性无关向量：空间

常见错误

注意事项

1. 混淆线性相关与平行
2. 忽视零向量的特殊性
3. 张成空间维数判断错误

练习方向

重点掌握

1. 线性相关性判定
2. 张成空间确定
3. 基的选取
4. 维数计算

线性代数向量线性组合

扩展理解

线性相关性的理解