向量基本运算

向量运算是研究向量加减法、数乘、点积和叉积的基本运算规则，是解决物理和工程问题的重要数学工具。

向量基本运算学习卡片

向量加减法

运算规则

1. 向量加法：平行四边形法则或三角形法则 $\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$

2. 向量减法： $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

向量数乘

定义与性质

标量$k$与向量$\vec{a}$的数乘： $k\vec{a}=(k{a}_x,k{a}_y,k{a}_z)$

性质：

• 改变大小和方向
• $k>0$：方向不变
• $k<0$：方向相反

向量点积

点积运算

1. 代数定义： $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

2. 几何定义： $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

应用：

• 计算夹角
• 判断垂直
• 计算投影

向量叉积

叉积运算

1. 代数表达： $\vec{a}\times \vec{b}=(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x)$

2. 几何意义： $|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ 方向由右手定则确定

应用：

• 计算面积
• 判断平行
• 构建坐标系

常见错误

注意事项

1. 混淆点积叉积
2. 忽略方向性
3. 右手定则使用错误
4. 运算顺序混乱

练习方向

重点掌握

1. 基本运算熟练度
2. 几何意义理解
3. 物理问题应用
4. 空间几何计算

向量线性代数空间几何