向量变换

向量变换是研究向量空间中向量在各种变换（如旋转、伸缩、对称、投影等）下的性质和规律的数学工具。

向量变换学习卡片

变换的基本概念

定义

线性变换$T:V\to W$满足：

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)$
2. $T(ku)=kT(u)$

基本变换类型

常见变换

1. 旋转变换（角度$\theta$）： $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

2. 伸缩变换： $\left[\begin{array}{cc}{k}_1& 0\\ 0& k_2\end{array}\right]$

3. 对称变换（关于y=x）： $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

变换矩阵

矩阵表示

变换$T$的矩阵表示： $T(\vec{v})=A\vec{v}$

其中$A$是变换矩阵： $A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$

复合变换

变换组合

两个变换$T_1$和$T_2$的复合： $(T_2\circ T_1)(\vec{v})=T_2(T_1(\vec{v}))=A_2(A_1\vec{v})=(A_2{A}_1)\vec{v}$

特殊变换

重要变换

1. 投影变换： $P_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}{\Vert }^2}\vec{u}$

2. 正交变换： 保持向量长度和夹角不变

应用示例

实际应用

1. 图像旋转
2. 物体缩放
3. 镜像对称
4. 投影映射

注意事项

常见错误

1. 变换顺序影响结果
2. 矩阵乘法不满足交换律
3. 特殊变换的性质判断
4. 基变换与坐标变换区分

线性代数向量变换