子集

子集是指一个集合论中的元素全部来自另一个集合的集合。

子集基本概念

1. 定义：
   • 若$A$中所有元素都在$B$中，则$A$是$B$的子集，记作$A\subseteq B$
   • 两个集合相等当且仅当互为子集：$A=B⟺A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$
2. 真子集：
   • 若$A\subseteq B$且$A\ne B$，则$A$是$B$的真子集，记作$A\subset B$
   • 空集是所有非空集合的真子集

子集数量计算

1. 有限集$A$的子集个数：$2^{|A|}$
2. 计算方法：
   • 每个元素都有”选”和”不选”两种可能
   • 使用乘法原理
3. 示例：
   • 三元集的子集个数：$2^3=8$
   • 空集的子集个数：$2^0=1$

例题1：构造子集 $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$，构造包含所有奇数的子集$B$

解答： $B=\{1,3,5,7,9\}$ 验证：$B$中所有元素都在$A$中

例题2：判断真子集 $A=\{6,2,4,1,5\}$，判断以下哪个不是$A$的真子集：

• $\{2\}$
• $\{1,2,3\}$
• $\{6,5,2,1\}$
• $\{1,2,4,5\}$

解答：$\{1,2,3\}$不是$A$的真子集，因为3不在$A$中

例题3：子集数量计算

解答：

1. 集合基数：$|A|=10$
2. 子集个数：$2^{10}=1024$个