跳跃间断点

通过一个具体的分段函数来说明跳跃间断点的特征。

函数示例

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1,& x<2\\ 2x+3,& x\ge 2\end{array}$$

间断点分析 $x=2$ 处：

1. 左极限： ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=2^2-1=3$
2. 右极限： ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=2(2)+3=7$
3. 函数值：$f(2)=7$

由于==左极限≠右极限，所以 $x=2$ 是跳跃间断点==

跳跃间断特征

1. 定义特征：
   • 左极限存在
   • 右极限存在
   • 左右极限不相等
2. 几何特征：
   • 图像在间断点处有明显”跳跃”
   • 两侧函数值有突变
   • 不能用一笔画出

常见应用场景

1. 物理学：
   • 电压突变
   • 能级跃迁
2. 经济学：
   • 阶梯定价
   • 税率变化
3. 工程学：
   • 信号切换
   • 控制系统

注意事项

1. 函数连续性：
   • 间断点处函数不连续
   • 但可以在间断点处有定义
2. 导数问题：
   • 间断点处导数不存在
   • 需要分段讨论导数
3. 积分问题：
   • 可以计算定积分
   • 需要分段处理