对数与人的感知

人类对数量的感知是对数刻度的，对于有些数据，将其转化为对数更容易进行基于数据的判断决策。

韦伯-费希纳定律 $S=k\ln (\frac{I}{I_0})$

其中：

• S 是感知强度
• I 是刺激强度
• I₀ 是阈值
• k 是常数

具体生活例子 A. 亮度感知

• 从1根蜡烛到2根：感知明显变亮
• 从100根到101根：几乎感知不到差异
• 需要从100根到200根才能感受到类似的”变亮程度”

B. 声音感知 $\text{分贝}=10{\log }_{10}(\frac{I}{I_0})$

• 10分贝到20分贝：感知声音明显变大
• 90分贝到100分贝：感知变化程度相似
• 实际声波能量比却相差巨大

3. 数字直觉测试 比较这两组差异：

• 1和2的差异
• 101和102的差异

虽然算术差都是1，但第一组差异感知明显更强。

4. 财富感知示例

• 工资从3000涨到6000：感觉收入翻倍
• 从30000涨到33000：感觉只是小幅增长
• 实际增加金额：前者3000，后者3000

$\text{主观价值}\approx \log (\text{实际金额})$

5. 对数刻度的优势

$$\{\begin{array}{l}\text{线性刻度}:1,2,3,4,...\\ \text{对数刻度}:1,10,100,1000,...\end{array}$$

种感知机制的意义

1. 生存适应

• 能够感知相对变化而非绝对变化

• 在广范围内保持敏感性

2. 决策启示

• 小数值区间需要更精细的划分
• 大数值区间可以粗略划分
• 比例变化比绝对变化更重要

3. 教育意义

• 理解学生对数量的直觉
• 设计更合理的评分系统
• 解释概率和统计