导数基础

导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，是函数图像在该点切线的斜率。

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导数的定义

极限定义

函数$f(x)$在点$x_0$处的导数定义为： $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 或 $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

几何意义

直观理解

1. 切线斜率
   • 导数值 = 切线斜率
   • $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
2. 瞬时变化率
   • 平均变化率→瞬时变化率

基本求导法则

常见公式

1. 基本函数导数：

   • $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
   • $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
   • $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

2. 四则运算：

   • $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
   • $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
   • $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

3. 复合函数：

   • 链式法则：$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

导数应用

主要应用

1. 切线与法线
2. 函数单调性
3. 极值问题
4. 最值应用

常见错误

注意事项

1. 复合函数求导顺序
2. 分式求导分子分母
3. 隐函数求导注意全微分
4. 三角函数导数符号

练习方向

重点掌握

1. 导数定义计算
2. 基本求导技巧
3. 实际应用问题
4. 函数性质分析

物理意义

实际含义

1. 速度：位移对时间的导数
2. 加速度：速度对时间的导数
3. 功率：功对时间的导数

微积分导数变化率