分式函数

分式函数是两个多项式相除所得的函数，其图像具有独特的渐近线特征。

知识卡片 $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中P(x)、Q(x)为多项式

关键特征：

1. 定义域：$\{x|Q(x)\ne 0\}$

2. 渐近线：

   • 垂直渐近线：$x=a$，其中$Q(a)=0$
   • 水平渐近线：$y={\lim }_{x\to \infty }\frac{P(x)}{Q(x)}$
   • 斜渐近线：当$\mathrm{deg}P(x)=\mathrm{deg}Q(x)+1$时存在

最简单的分式函数：反比例函数 $f(x)=\frac{k}{x}$ $(k\ne 0)$

• 定义域：$x\ne 0$
• 渐近线：$x=0$ 和 $y=0$
• 图像特点：双曲线，在第一、三象限（$k>0$）或第二、四象限（$k<0$）