函数的单调性

函数的单调性描述了函数值随自变量变化的增减趋势，是分析函数行为的重要工具。

函数单调性学习卡片

基本定义

单调性概念

在区间$I$上：

1. 单调递增：若$\forall x_1<x_2$，有$f(x_1)\le f(x_2)$
2. 单调递减：若$\forall x_1<x_2$，有$f(x_1)\ge f(x_2)$
3. 严格单调：将不等号改为严格不等号

判断方法

1. 定义法

   • 直接比较函数值
   • 适用于简单函数

2. 导数法

   • $f^{\prime }(x)>0$ ：递增
   • $f^{\prime }(x)<0$ ：递减
   • $f^{\prime }(x)=0$ ：可能为极值点

单调区间

求解步骤

1. 求导数$f^{\prime }(x)$
2. 解$f^{\prime }(x)=0$得驻点
3. 确定$f^{\prime }(x)$符号
4. 划分单调区间

应用技巧

重要应用

1. 方程求解

   • 利用单调性确定解的存在性
   • 确定解的个数

2. 不等式证明

   • 利用单调性比较函数值
   • 转化为导数问题

常见错误

注意事项

1. 导数为零不一定是极值点
2. 单调性与连续性无必然联系
3. 严格单调与非严格单调的区别

练习方向

练习建议

1. 绘制函数图像分析单调性
2. 用导数判断单调区间
3. 结合实际问题应用单调性
4. 证明函数的单调性

重要结论

核心定理

1. 连续函数在闭区间上一定有最值
2. 严格单调函数一定是一一对应的
3. 单调函数的复合函数保持单调性

函数性质单调性导数应用