分点公式

分点公式用于求一条线段被一个点按给定比例分割时，该点的坐标。

分点公式基础

内分点公式（m:n比例）： $P = (\frac{m x _{2} + n x _{1}}{m + n}, \frac{m y _{2} + n y _{1}}{m + n})$

外分点公式（m:n比例）： $P = (\frac{m x _{2} - n x _{1}}{m - n}, \frac{m y _{2} - n y _{1}}{m - n})$ 其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)是线段端点

特殊情况

中点公式 (m:n = 1:1)： $P = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

三等分点 (m:n = 1:2 或 2:1)： $P_{1} = (\frac{2 x _{1} + x _{2}}{3}, \frac{2 y _{1} + y _{2}}{3})$ $P_{2} = (\frac{x _{1} + 2 x _{2}}{3}, \frac{y _{1} + 2 y _{2}}{3})$

典型应用

求线段AB的内分点P，分割比为 $2 : 3$

$A (1, 2)$ , $B (7, 8)$ $x = (3 \cdot 1 + 2 \cdot 7) /5 = 3.8$ $y = (3 \cdot 2 + 2 \cdot 8) /5 = 4.4$ $P (3.8, 4.4)$

三角形重心 $G = (\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}, \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$

常见错误

内外分点公式混淆

比例顺序颠倒

分母计算错误

坐标代入顺序错误

解题技巧

明确是内分还是外分

确定正确的比例关系

分别计算x,y坐标

验证结果合理性

应用场景

求中点坐标

计算重心

等分线段

比例分割

思考问题

为什么内外分点公式不同？

如何几何理解分点公式？

分点公式与距离的关系？

如何扩展到三维空间？

掌握要点

理解内外分点区别

熟记基本公式

正确使用比例

会处理特殊情况

能解决实际问题

知识联系

基础概念

比例

坐标系

线段

应用

中点

重心

等分点

扩展

三维空间

复杂比例

几何构造