柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式将平方和的乘积与乘积之和的平方联系起来。与 AM-GM 不等式一样，常用于求解多变量函数或表达式的最小值或最大值。$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)\ge {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2.$

向量形式

对于$2\ast 2$实数序列,柯西不等式简写为： $\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge {\left(ac+bd\right)}^2.$

若 $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$, 而$a_1,a_2...a_n\in \mathbb{R}$，证明 $a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\ge \frac{1}{n}.$

先研究一下，假定是个2维（$n=2$）的实数序列，已知$a_1+a_2=1$，如何证明$a_1^2+a_2^2>=\frac{1}{2}$? 既然$a_1,a_2$都是任意实数，能否将$a_1$对应$x$，$a_2$对应$y$?当然可以！

所以问题就变成已知$x+y=1$，求证$x^2+y^2>=\frac{1}{2}$。

是不是很像平面坐标系下的几何图形？

那么代数问题转成几何问题，
如何用代数几何语言描述这个转换后的问题？

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