角的度量有两种主要方法:角度和弧度。角度以度(°)为单位,一个完整的圆是360°;而弧度以圆的半径长度为基准,用弧长与半径的比值来表示角的大小。这两种度量方式可以相互转换,其中π(pi)是关键:180°恰好等于π弧度。
单位圆(半径为1的圆)在这里扮演着重要角色,它帮助我们直观理解弧度,并成为定义三角函数的基础。三角函数(如正弦、余弦)就是在单位圆上,不同角度或弧度对应的特定线段长度,这些函数为我们研究圆及周期性变化提供了强大的数学工具。
角度
- 定义:一个圆周被分为360等份,每份为1度(1°)
- 一周角 = 360°
弧度
- 定义:弧长等于半径长的圆心角为1弧度(1 rad)
- 一周角 = 2π rad
转换关系
- π rad = 180°
- 1° = π/180 rad
- 1 rad ≈ 57.3°
转换公式
角度转弧度: 弧度转角度:
弧长公式
对于半径r的圆,角度对应的弧长: 若半径r=1,则弧长简化为。
角度的认识
三角函数的本质是角度的测量,角度的本质是旋转和长度比值。度数、弧度都是角度的量化表示。三角函数、单位圆等都可成为对角度的研究方法。
预习问题
- 角和角度概念上有何不同?
角是***,角度是***。
-
如何在头脑中快速估算常见角度(如30°、45°、60°)对应的弧度值?
-
在单位圆上,弧度和弧长之间有什么关系?
-
已知三角形的三条边长,三角形的形状可唯一确定,但三个角度如何计算?
-
还有什么其他方式可以表示角的大小?