三角函数的 R 方法

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知识卡片：三角函数的 R 方法

三角函数的 R 方法

• 定义：三角函数的 R 方法是一种将正弦和余弦的加权和重写为单个正弦（或余弦）实例的方法。

知识卡片：R 方法的公式

• 标题：R 方法的公式
• 公式：
  • 正弦形式：$a\sin \theta +b\cos \theta =R\sin (\theta +\alpha )$
  • 余弦形式：$a\sin \theta +b\cos \theta =R\cos (\theta -\alpha )$
  • 其中 $R=\sqrt{a^2+b^2}$ 且 $\tan \alpha =\frac{b}{a}$ 或 $\alpha =\arctan \frac{b}{a}$。

知识卡片：R 方法的证明

• 标题：R 方法的证明
• 证明：
  • 正弦形式： $$\begin{array}{rl}{a}^2+b^2& =R^2({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )=R^2\\ \tan \alpha & =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{b}{a}\\ a\sin \theta +b\cos \theta & =R\sin \theta \cos \alpha +R\cos \theta \sin \alpha =R\sin (\theta +\alpha )\end{array}$$
  • 余弦形式： $$\begin{array}{rl}{a}^2+b^2& =R^2({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=R^2\\ \tan \alpha & =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{a}{b}\\ a\sin \theta +b\cos \theta & =R\cos \theta \cos \alpha +R\sin \theta \sin \alpha =R\cos (\theta -\alpha )\end{array}$$

知识卡片：R 方法的应用

• 标题：R 方法的应用
• 应用：
  • 寻找三角函数组合的极值（最大值和最小值）。
  • 简化表达式，便于分析。

知识卡片：R 方法的示例

• 标题：R 方法的示例
• 示例：
  • $\sin \frac{\pi }{8}+\cos \frac{\pi }{8}=\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{4}\right)$
  • $\sin \frac{\pi }{6}+\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{6}=2\sin \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)$

知识卡片：R 方法的极值应用

• 标题：R 方法的极值应用
• 应用：
  • 极值计算：$-1\le \sin x\le 1$ 和 $-1\le \cos x\le 1$，因此 $a\sin \theta +b\cos \theta$ 的最大值和最小值分别为 $R$ 和 $-R$。
  • $R$ 和 $\alpha$ 可能有多个可能的值，因为正弦和余弦是周期函数。
  • 通常使用 $-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$ 和 $R>0$ 以方便计算。