题目:对于函数 ,研究其最值情况。
完整答案:
对于函数 ,其最值情况取决于二次函数 的判别式 。我们分三种情况讨论:
-
当 时:
a) 函数特征:
- 定义域为全体实数
- x 轴(y = 0)是水平渐近线
b) 最值情况:
- 有最大值,无最小值
- 最大值点:
- 最大值:
c) 图形特征:
- 图形是一个开口向下的抛物线形状
- 函数单调性:在 上单调递增,在 上单调递减
-
当 时:
a) 函数特征:
- 定义域为
- 在 处有一个垂直渐近线
- x 轴(y = 0)是水平渐近线
b) 最值情况:
- 无最大值,无最小值
c) 图形特征:
- 图形由两个分支组成,被垂直渐近线分隔
- 两个分支都是单调的:左分支单调递减,右分支单调递增
-
当 时:
a) 函数特征:
- 设两个实根为 和
- 定义域为
- 在 和 处有两个垂直渐近线
- x 轴(y = 0)是水平渐近线
b) 最值情况:
- 无全局最大值,无全局最小值
- 中间分支有局部最大值
- 局部最大值点:
- 局部最大值:
c) 图形特征:
- 图形由三个分支组成
- 左分支():开口向上,单调递减
- 中间分支():开口向下,在 处有局部最大值
- 右分支():开口向上,单调递增
总结:
- 只有当 时,函数才有全局最大值。
- 当 时,函数没有全局最大值和最小值。
- 当 时,函数在中间分支上有局部最大值。
这个问题展示了二次分式函数的复杂行为,以及判别式 如何决定函数的整体特征和最值情况。理解这些不同情况对于深入分析此类函数非常重要。
graph TD
A[Δ < 0] --> B[定义域: 全体实数]
A --> C[水平渐近线: y = 0]
A --> D[有最大值]
D --> E[最大值点: x = -b/2a]
D --> F["最大值: $$y_max = 4a/(4ac-b^2)$$"]
A --> G[图形特征]
G --> H[开口向下的抛物线形状]
G --> I[单调性]
I --> J[x < -b/2a 时递增]
I --> K[x > -b/2a 时递减]
graph TD
A[Δ = 0] --> B["定义域: $$R \ {-b/2a}$$"]
A --> C[垂直渐近线: x = -b/2a]
A --> D[水平渐近线: y = 0]
A --> E[无最大值]
A --> F[无最小值]
A --> G[图形特征]
G --> H[两个分支]
H --> I[左分支单调递减]
H --> J[右分支单调递增]
graph TD
A[Δ > 0] --> B["$$定义域: (-∞, x1) ∪ (x1, x2) ∪ (x2, +∞)$$"]
A --> C[两个垂直渐近线]
C --> D[x = x1]
C --> E[x = x2]
A --> F[水平渐近线: y = 0]
A --> G[无全局最大值]
A --> H[无全局最小值]
A --> I[中间分支有局部最大值]
I --> J[局部最大值点: x = -b/2a]
I --> K["局部最大值: $$y_max = 4a/(-Δ)$$"]
A --> L[图形特征]
L --> M[三个分支]
M --> N[左分支: 开口向上, 单调递减]
M --> O[中间分支: 开口向下, 有局部最大值]
M --> P[右分支: 开口向上, 单调递增]