一个分式函数的最值情况

题目：对于函数 $y = \frac{1}{a x ^{2} + b x + c} (a > 0)$ ，研究其最值情况。

完整答案：

对于函数 $y = \frac{1}{a x ^{2} + b x + c} (a > 0)$ ，其最值情况取决于二次函数 $a x^{2} + b x + c$ 的判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 。我们分三种情况讨论：

当 $Δ < 0$ 时：

a) 函数特征：
- 定义域为全体实数
- x 轴（y = 0）是水平渐近线
b) 最值情况：
- 有最大值，无最小值
- 最大值点： $x = - \frac{b}{2 a}$
- 最大值： $y_{ma x} = \frac{4 a}{4 a c - b ^{2}}$
c) 图形特征：
- 图形是一个开口向下的抛物线形状
- 函数单调性：在 $(- \infty, - \frac{b}{2 a})$ 上单调递增，在 $(- \frac{b}{2 a}, + \infty)$ 上单调递减
当 $Δ = 0$ 时：

a) 函数特征：
- 定义域为 $R ∖ {- \frac{b}{2 a}}$
- 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 处有一个垂直渐近线
- x 轴（y = 0）是水平渐近线
b) 最值情况：
- 无最大值，无最小值
c) 图形特征：
- 图形由两个分支组成，被垂直渐近线分隔
- 两个分支都是单调的：左分支单调递减，右分支单调递增
当 $Δ > 0$ 时：

a) 函数特征：
- 设两个实根为 $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ 和 $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$
- 定义域为 $(- \infty, x_{1}) \cup (x_{1}, x_{2}) \cup (x_{2}, + \infty)$
- 在 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 处有两个垂直渐近线
- x 轴（y = 0）是水平渐近线
b) 最值情况：
- 无全局最大值，无全局最小值
- 中间分支有局部最大值
- 局部最大值点： $x = - \frac{b}{2 a}$
- 局部最大值： $y_{ma x} = \frac{4 a}{4 a c - b ^{2}} = \frac{4 a}{- Δ}$
c) 图形特征：
- 图形由三个分支组成
- 左分支（ $x < x_{1}$ ）：开口向上，单调递减
- 中间分支（ $x_{1} < x < x_{2}$ ）：开口向下，在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 处有局部最大值
- 右分支（ $x > x_{2}$ ）：开口向上，单调递增

总结：

只有当 $Δ < 0$ 时，函数才有全局最大值。
当 $Δ \geq 0$ 时，函数没有全局最大值和最小值。
当 $Δ > 0$ 时，函数在中间分支上有局部最大值。

这个问题展示了二次分式函数的复杂行为，以及判别式 $Δ$ 如何决定函数的整体特征和最值情况。理解这些不同情况对于深入分析此类函数非常重要。


graph TD
    A[Δ < 0] --> B[定义域: 全体实数]
    A --> C[水平渐近线: y = 0]
    A --> D[有最大值]
    D --> E[最大值点: x = -b/2a]
    D --> F["最大值: $$y_max = 4a/(4ac-b^2)$$"]
    A --> G[图形特征]
    G --> H[开口向下的抛物线形状]
    G --> I[单调性]
    I --> J[x < -b/2a 时递增]
    I --> K[x > -b/2a 时递减]


graph TD
A[Δ = 0] --> B["定义域: $$R \ {-b/2a}$$"]
A --> C[垂直渐近线: x = -b/2a]
A --> D[水平渐近线: y = 0]
A --> E[无最大值]
A --> F[无最小值]
A --> G[图形特征]
G --> H[两个分支]
H --> I[左分支单调递减]
H --> J[右分支单调递增]


graph TD
    A[Δ > 0] --> B["$$定义域: (-∞, x1) ∪ (x1, x2) ∪ (x2, +∞)$$"]
    A --> C[两个垂直渐近线]
    C --> D[x = x1]
    C --> E[x = x2]
    A --> F[水平渐近线: y = 0]
    A --> G[无全局最大值]
    A --> H[无全局最小值]
    A --> I[中间分支有局部最大值]
    I --> J[局部最大值点: x = -b/2a]
    I --> K["局部最大值: $$y_max = 4a/(-Δ)$$"]
    A --> L[图形特征]
    L --> M[三个分支]
    M --> N[左分支: 开口向上, 单调递减]
    M --> O[中间分支: 开口向下, 有局部最大值]
    M --> P[右分支: 开口向上, 单调递增]

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