为什么三角函数要构造直角三角形?

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三角函数是数学的重要组成部分,因为它们为解决涉及角度和三角形的问题提供了强大的工具。直角三角形的概念在研究三角函数时特别有用,因为它使我们能够轻松地将三角形边的长度与其角度的测量联系起来。

使用直角三角形来研究三角函数可以追溯到古希腊数学家,如欧几里得和毕达哥拉斯。这些数学家是最早认识到三角形的角和边的大小可以通过数学公式相互关联的人之一。

借助直角三角形研究三角函数的主要好处之一是,它允许我们根据三角形的角度测量值轻松计算三角形边的长度。例如,勾股定理将斜边(直角对面的边)的长度与其他两条边的长度联系起来,可以用来计算直角三角形任何边的长度。

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我们在现实生活中遇到的许多三角形都不是直角三角形,因此方程的直接应用似乎有限。但是,任何三角形都可以分割成两个直角三角形,而任何多边形都可以分割成若干三角形。因此,直角三角形是关键:它们证明了三角形的形状与其边的长度之间存在有用的关系。从这一见解中发展出来的学科是三角学——“三角形的测量”。

直角三角形是三角学的基础,特别是它决定了基本的三角函数:正弦、余弦和正切。这些名称源于阿拉伯语,而这些函数及其许多前辈的发展史,展示了今天这个版本经历了什么样的复杂路径。

直角三角形里当然有一个直角,但另外两个角是任意的,只要加起来是 90° 就行了。任何角都有三个相关的函数——函数就是用于计算相关数字的规则。对于角A,按常规用a、b、c代表三个边的边长,我们定义正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)如下: