几何平均数不大于算数平均数:
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基本定义卡片:
算术几何平均不等式(AM-GM不等式) ,有: 当且仅当 时,等号成立。
内容:对于任意 n 个正实数
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二元形式卡片:
二元 AM-GM 不等式 当且仅当 a = b 时,等号成立。
对于任意两个正实数 a 和 b,有:
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加权形式卡片:
加权 AM-GM 不等式
对于正实数 和正权重 ,有:
- 应用场景卡片:
AM-GM 不等式的应用
- 优化问题(最大值/最小值)
- 不等式证明
- 几何问题(如面积最大化)
- 经济学中的效用最大化
- 推广形式卡片: 标题:AM-GM-HM 不等式 内容:对于正实数 ,有: 其中左边是调和平均数,中间是几何平均数,右边是算术平均数。
常见题型和解法:
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题型:给定和或积,求另一个的极值 解法:使用 AM-GM 不等式,当所有变量相等时取得极值
例题:已知 ,求 的最大值。 解答: 当 时取得最大值 8。
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题型:证明不等式 解法:将不等式转化为 AM-GM 的形式
例题:证明:,其中 证明: 因此原不等式成立。
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题型:最优化问题 解法:构造合适的表达式,应用 AM-GM 不等式
例题:已知 ,,且 ,求 的最小值。 解答: 由 AM-GM 不等式: 所以 当 时取得最小值 2。
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题型:几何优化问题 解法:将几何量转化为代数表达式,应用 AM-GM 不等式
例题:在所有周长为 10 的矩形中,求面积最大的矩形。 解答: 设矩形的长为 x,宽为 y,则: , 面积 由 AM-GM 不等式: 当 时,面积最大,为 。