通过骰子游戏理解贝叶斯概率公式

贝叶斯思维教会我们如何根据新的信息来更新自己的认知和判断，这是成长和学习的核心，用一个游戏的例子学习贝叶斯概率：

问题：连续掷两次骰子，已知两次点数之和大于7的条件下,第一次掷出点数大于4的概率。

• A: 第一次掷出的点数大于4
• B: 两次掷出的点数之和大于7

我们要计算P(A|B),即在已知两次点数之和大于7的条件下,第一次掷出点数大于4的概率。

步骤分析:

1. 计算先验概率P(A): P(A) = 2/6 = 1/3 (5和6两个点数大于4)
2. 计算P(B): P(B) = 15/36 (36种可能组合中,15种和大于7)
3. 计算P(B|A): 当A发生时(第一次>4),第二次只需>2即可满足B P(B|A) = 9/12=3/4
4. 应用贝叶斯公式: P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = (3/4) * (1/3) / (15/36) = 9/15 = 0.60

解释:

• 这个结果意味着,当我们知道两次点数之和大于7时,第一次掷出大于4点的概率为60%。
• 这比原本的先验概率(33.33%)高,因为我们有了新的信息(总和>7)。

概念图示:

graph TD
    A[两次掷骰子]
    B["先验概率 P(A)"]
    C["条件概率 P(B|A)"]
    D["边缘概率 P(B)"]
    E[贝叶斯公式]
    F["后验概率 P(A|B)"]

    A --> B
    A --> C
    A --> D
    B --> |1/3| E
    C --> |3/4|E
    D --> |15/36| E

    E --> |3/5| F
 

关键理解:

1. 先验知识: 我们开始时只知道掷骰子的基本概率。
2. 新信息: 我们得知总和大于7。
3. 更新信念: 基于新信息,我们更新了对第一次掷骰结果的看法。